Warum kann man einen endlichen gekrümmten Raum nicht auf einer geraden Linie verlassen?: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein endlicher gekrümmter Raum ist eine anders strukturierte Punktmenge als der euklidisch-flache Anschauungsraum <math>\mathbb{R}^3</math>, auch wenn sie sich lokal ähnlich sehen können. Man muss also die Definition von "gerade" erweitern - oder auf sie verzichten. Die Analogie von Geraden in <math>\mathbb{R}^2</math>und Großkreisen auf einer Kugeloberfläche S2 erklärt schon alles - denn die Punktmenge S2 mit ihrer Krümmung kann mathematisch ''auch ohne Einbettung in <math>\mathbb{R}^3</math>''beschrieben werden! Dort ist der Äquator der 2-Sphäre S2 dann wirklich eine "gerade Linie" - und S2 enthält wirklich schon alle Punkte in diesem 2D-Universum.
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Ein endlicher gekrümmter Raum ist als Punktmenge anders strukturiert als der vertraute euklidisch-flache Anschauungsraum <math>\mathbb{R}^3</math>, auch wenn sie sich lokal ähnlich sehen können. Man muss also die Definition von "gerade" verzichten - oder sie erweitern. Der Vergleich von Geraden in <math>\mathbb{R}^2</math>und dem Äquator einer Kugeloberfläche S2 erklärt eigentlich schon alles - denn die Punktmenge S2 mit ihrer konstanten Krümmung kann mathematisch ''auch ohne Einbettung in <math>\mathbb{R}^3</math>''beschrieben werden! Dort sind dann Großkreise genau die "geraden Linien" und S2 enthält alle Punkte in diesem 2D-Universum, das man nicht verlassen kann.
  
 
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Es gibt auch eine 3-Sphäre S3, die lokal aussieht wie <math>\mathbb{R}^3</math>, aber ein gerader Strahl in jede Richtung (x, y, z) kommt schließlich aus der Gegenrichtung zum Ausgangspunkt zurück, analog zum Großkreis in allen Richtungen auf S2. Dies wäre ein mögliches Modell für einen endlichen Raumanteil in unserer kosmologischen FLRW-Raumzeit, die allerdings empirisch eher flach aussieht.
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Es gibt mathematisch auch eine 3-Sphäre S3, die lokal aussieht wie <math>\mathbb{R}^3</math>, aber ein gerader Strahl in jede Richtung (x, y, z) kommt schließlich aus der Gegenrichtung zum Ausgangspunkt zurück, analog zum Großkreis in alle Richtungen in einem Punkt von S2. Dies wäre ein mögliches Modell für einen endlichen Raumanteil in unserer kosmologischen FLRW-Raumzeit, die allerdings empirisch eher flach aussieht.
  
 
Rein theoretisch könnte es aber auch einen echten Rand geben, also Punkte, bei denen es in bestimmten Richtungen keine Nachbarpunkte mehr gibt.  
 
Rein theoretisch könnte es aber auch einen echten Rand geben, also Punkte, bei denen es in bestimmten Richtungen keine Nachbarpunkte mehr gibt.  
  
Oder Räume als strukturierte Punktmengen, sogenannte Mannigfaltigkeiten, beschreiben unser Universum auch nur annäherungsweise. Vermutlich gibt es Bereiche, wie nahe Singularitäten in schwarzen Löchern die gar nicht mehr aus eindeutig definierten Orten (und Zeiten) bestehen - und eine gerade Linie in diesen Bereich hinein wäre dort gar nicht mehr als Bewegungskurve zu definieren.
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Oder es ist so, dass Räume als strukturierte Punktmengen, sogenannte Mannigfaltigkeiten, unser Universum auch nur annäherungsweise beschreiben. Vermutlich gibt es Bereiche, wie z.B. nahe Singularitäten in schwarzen Löchern, die gar nicht mehr aus eindeutig definierten Orten (und Zeiten) bestehen - und eine gerade Linie in diesen Bereich hinein wäre dort auch gar nicht mehr als Bahn einer Bewegung zu definieren.

Version vom 5. Februar 2021, 12:44 Uhr

Ein endlicher gekrümmter Raum ist als Punktmenge anders strukturiert als der vertraute euklidisch-flache Anschauungsraum , auch wenn sie sich lokal ähnlich sehen können. Man muss also die Definition von "gerade" verzichten - oder sie erweitern. Der Vergleich von Geraden in und dem Äquator einer Kugeloberfläche S2 erklärt eigentlich schon alles - denn die Punktmenge S2 mit ihrer konstanten Krümmung kann mathematisch auch ohne Einbettung in beschrieben werden! Dort sind dann Großkreise genau die "geraden Linien" und S2 enthält alle Punkte in diesem 2D-Universum, das man nicht verlassen kann.


Es gibt mathematisch auch eine 3-Sphäre S3, die lokal aussieht wie , aber ein gerader Strahl in jede Richtung (x, y, z) kommt schließlich aus der Gegenrichtung zum Ausgangspunkt zurück, analog zum Großkreis in alle Richtungen in einem Punkt von S2. Dies wäre ein mögliches Modell für einen endlichen Raumanteil in unserer kosmologischen FLRW-Raumzeit, die allerdings empirisch eher flach aussieht.

Rein theoretisch könnte es aber auch einen echten Rand geben, also Punkte, bei denen es in bestimmten Richtungen keine Nachbarpunkte mehr gibt.

Oder es ist so, dass Räume als strukturierte Punktmengen, sogenannte Mannigfaltigkeiten, unser Universum auch nur annäherungsweise beschreiben. Vermutlich gibt es Bereiche, wie z.B. nahe Singularitäten in schwarzen Löchern, die gar nicht mehr aus eindeutig definierten Orten (und Zeiten) bestehen - und eine gerade Linie in diesen Bereich hinein wäre dort auch gar nicht mehr als Bahn einer Bewegung zu definieren.