Warum kann man einen endlichen gekrümmten Raum nicht auf einer geraden Linie verlassen?: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein endlicher gekrümmter Raum ist eine anders strukturierte Punktmenge als der euklidisch-flache Anschauungsraum <math>\mathbb{R}^3</math> auch wenn sie sich lokal ähnlich sehen können. Man muss also die Definition von "gerade" erweitern - oder auf sie verzichten. Die Analogie von Geraden in <math>\mathbb{R}^2</math>und Großkreisen auf einer Kugeloberfläche S2 erklärt schon alles - denn die Punktmenge S2 mit ihrer Krümmung kann mathematisch ''auch ohne Einbettung in <math>\mathbb{R}^3</math>''beschrieben werden! Dort ist der Äquator der 2-Sphäre S2 dann wirklich eine "gerade Linie" - und S2 sind wirklich schon alle Punkte in diesem 2D-Universum.
  
Ein endlicher gekrümmter Raum ist sicher eine andersartige Punktmenge als der vertraute flache euklidische Anschauungsraum <math>\mathbb{R}^3</math>. Da mögliche Kurven immer Teilmengen von Raumpunkten sind, haben sie in verschiedenen Räumen andere Eigenschaften. Und weil der Raum schon das ganze Universum darstellen soll, kann man es sowieso nicht verlassen - ein Außerhalb würde ja bereits zum Raum gehören.
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Es gibt auch eine 3-Sphäre S3, die lokal aussieht wie <math>\mathbb{R}^3</math>, aber ein gerader Strahl in jede Richtung (x, y, z) kommt schließlich aus der Gegenrichtung zum Ausgangspunkt zurück. Dies wäre ein mögliches Modell für den Raumanteil in unserer kosmologischen FLRW-Raumzeit
 
 
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Version vom 5. Februar 2021, 12:21 Uhr

Ein endlicher gekrümmter Raum ist eine anders strukturierte Punktmenge als der euklidisch-flache Anschauungsraum auch wenn sie sich lokal ähnlich sehen können. Man muss also die Definition von "gerade" erweitern - oder auf sie verzichten. Die Analogie von Geraden in und Großkreisen auf einer Kugeloberfläche S2 erklärt schon alles - denn die Punktmenge S2 mit ihrer Krümmung kann mathematisch auch ohne Einbettung in beschrieben werden! Dort ist der Äquator der 2-Sphäre S2 dann wirklich eine "gerade Linie" - und S2 sind wirklich schon alle Punkte in diesem 2D-Universum.

Es gibt auch eine 3-Sphäre S3, die lokal aussieht wie , aber ein gerader Strahl in jede Richtung (x, y, z) kommt schließlich aus der Gegenrichtung zum Ausgangspunkt zurück. Dies wäre ein mögliches Modell für den Raumanteil in unserer kosmologischen FLRW-Raumzeit